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                        有理數和無理數的區別 有人建議給無理數摘掉無理的

                        日期:2022-01-03 07:05:04編輯:風塵浪子返回首頁:QQ名字

                        提到無理數,大家都了解,有朋友問什么叫做有理數和無理數,當然了,還有朋友想問有理數和無理數的定義,這到底怎么回事呢?實際上寫出三個常見的無理數呢,下面小編整理了有理數和無理數的區別,一起來看看吧。

                        有理數和無理數的區別

                        1、把有理數和無理數都寫成小數形式時,有理數能寫成有限小數和無限循環小數。

                        比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數只能寫成無限不循環小數,

                        比如√2=1.414213562…………根據這一點,人們把無理數定義為無限不循環小數。

                        2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比;而無理數不能。

                        根據這一點,有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子,把有理數改叫為“比數”,把無理數改叫為“非比數”。

                        3、有理數的位數是有限的,二無理數的位數是無限的。

                        有理數和無理數的和一定為無理數。

                        有理數可以化為兩整數比(即分數)的形式,而無理數則不能。假設有理數a/b與無理數x的和是有理數c/d,其中a,b,c,d都是整數,且b,d不為零那么a/b+x=c/d, x=c/d-a/b=(bc-ad)/bdx可以化為兩整數bc-ad和bd的比的形式。

                        x是有理數,這與題設x是無理數矛盾。所以一個有理數與一個無理數的和不能是有理數,一定為無理數。

                        有理數:通常我們把能夠寫成分數形式稱為有理數。有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。0也是有理數,整數和分數統稱有理數,整數也可看做是分母為一的分數。比如4=4.0, 4/5=0.8,。

                        無理數:不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不循環的數。如圓周率、√2(根號 2),1/3=0.33333……

                        擴展資料:

                        實數(real munber)分為有理數和無理數(irrational number)。

                        有理數分為整數和分數

                        整數又分為正整數、負整數和0

                        分數又分為正分數、負分數

                        正整數和0又被稱為自然數

                        有理數和無理數定義的區別是什么

                        有理數和無理數定義有3點不同:

                        一、兩者的含義不同:

                        1、有理數的含義:數學中,有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通常為a/b,0也是有理數。

                        2、無理數的含義:在數學中,無理數是所有不是有理數字的實數,后者是由整數的比率(或分數)構成的數字。

                        二、兩者的特征不同:

                        1、有理數的特征:有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。

                        2、無理數的特征:無理數的小數部分是無限不循環的數。

                        三、兩者的實質不同:

                        1、有理數的實質:有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

                        由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數,反之,每一個十進制循環小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進制循環小數。

                        2、無理數的實質:無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說,無理數就是10進制下的無限不循環小數,如圓周率、根號2等。

                        有理數和無理數的區別

                        整數和分數統稱為有理數,任何一個有理數都可以寫成分數m/n的形式,m,n都是整數,且n≠0,m,n互質。

                          無限不循環小數和開根開不盡的數叫無理數 ,比如π,3.1415926535897932384626......

                          而有理數恰恰與它相反,整數和分數統稱為有理數

                          包括整數和通常所說的分數,此分數亦可表示為有限小數或無限循環小數。

                          這一定義在數的十進制和其他進位制(如二進制)下都適用。

                          數學上,有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比(ratio),通常寫作 a/b,故又稱作分數。希臘文稱為 λογο?? ,原意為“成比例的數”(rational number),但中文翻譯不恰當,逐漸變成“有道理的數”。不是有理數的實數遂稱為無理數。

                          所有有理數的集合表示為 Q,有理數的小數部分有限或為循環。

                          有理數分為整數和分數

                          整數又分為正整數、負整數和0

                          分數又分為正分數、負分數

                          正整數和0又被稱為自然數

                          如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理數。

                          全體有理數構成一個集合,即有理數集,用粗體字母Q表示,較現代的一些數學書則用空心字母Q表示。

                          有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

                          有理數集是一個域,即在其中可進行四則運算(0作除數除外),而且對于這些運算,以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數):

                         ?、偌臃ǖ慕粨Q律 a+b=b+a;

                         ?、诩臃ǖ慕Y合律 a+(b+c)=(a+b)+c;

                         ?、鄞嬖跀?,使 0+a=a+0=a;

                         ?、軐θ我庥欣頂礱,存在一個加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;

                         ?、莩朔ǖ慕粨Q律 ab=ba;

                         ?、蕹朔ǖ慕Y合律 a(bc)=(ab)c;

                         ?、叻峙渎?a(b+c)=ab+ac;

                         ?、啻嬖诔朔ǖ膯挝辉?≠0,使得對任意有理數a,1a=a1=a;

                         ?、釋τ诓粸?的有理數a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

                         ?、?a=0 文字解釋:一個數乘0還于0。

                          此外,有理數是一個序域,即在其上存在一個次序關系≤。

                          有理數還是一個阿基米德域,即對有理數a和b,a≥0,b>0,必可找到一個自然數n,使nb>a。由此不難推知,不存在最大的有理數。

                          值得一提的是有理數的名稱。“有理數”這一名稱不免叫人費解,有理數并不比別的數更“有道理”。事實上,這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來,在英語中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作,依據日語中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數”。但是,這個詞來源于古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思(這里的詞根是英語中的,希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁,就是整數的“比”。與之相對,“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數,而并非沒有道理。

                          有理數加減混合運算

                          1.理數加減統一成加法的意義:

                          對于加減混合運算中的減法,我們可以根據有理數減法法則將減法轉化為加法,這樣就可將混合運算統一為加法運算,統一后的式子是幾個正數或負數的和的形式,我們把這樣的式子叫做代數和。

                          2.有理數加減混合運算的方法和步驟:

                         ?。?)運用減法法則將有理數混合運算中的減法轉化為加法。

                         ?。?)運用加法法則,加法交換律,加法結合律簡便運算。

                          有理數范圍內已有的絕對值,相反數等概念,在實數范圍內有同樣的意義。

                          一般情況下,有理數是這樣分類的:

                          整數、分數;正數、負數和零;負有理數,非負有理數

                          整數和分數統稱有理數,有理數可以用a/b的形式表達,其中a、b都是整數,且互質。我們日常經常使用有理數的。比如多少錢,多少斤等。

                          凡是不能用a/b形式表達的實數就是無理數,又叫無限不循環小數

                          一個困難的問題

                          有理數的邊界在哪里?

                          根據定義,無限循環小數和有限小數(整數可認為是小數點后是0的小數),統稱為有理數,無限不循環小數是無理數。

                          但人類不可能寫出一個位數最多的有理數,對全地球人類,或比地球人更智慧的生物來說是有理數的數,對每個地球人來說,可能是無法知道它是有理數還是無理數了。因此有理數和無理數的邊界,竟然緊靠無理數,任何兩個十分接近的無理數中間,都可以加入無窮多的有理數,反之也成立。

                          竟然沒有人知道有理數的邊界,或者說有理數的邊界是無限接近無理數的。

                          定理:位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的,盡管它的定義是有有限位,但它是無限趨近于無理數的,以致于沒有手段進行判斷。

                          證明:假設位數最多的非無限循環有理數被寫出,我們在這個數的最后再加一位,這個數還是有限位有理數,但位數比已寫出有理數多一位,證明原來寫出的不是位數最多的非無限循環有理數。所以位數最多的非無限循環有理數是不可能被寫出的。

                          關于無理數與有理數無法比較的說明:

                          對于定義無限不循環小數是無理數,無理數之外為有理數。則無理數很難被證實,而每一個無理數,無論認識多少位,都有有理數對應,而位數較短的有理數,都沒有無理數對應,因此有理數多。

                          對于定義為有限位小數和無限循環小數為有理數,無限不循環數為無理數。對于很多位數多的無法分辨的數沒有明確歸屬,而認為大于特定有限位的數都是無理數的人,才能證明無理數比有理數多,但那明顯是將很多很多有理數歸為無理數的結果。在這個定義下,由于界限不明,無法進行比較,除非有人能有力的證明。

                          無限不循環小數不是有理數,如:

                          0.10100100010000100000......

                          0.1200000012000012000000120000......

                          π

                          等是無限不循環小數,所以不是有理數

                          循環小數化分數的方法

                          0.777777......

                          有一個數循環,分母是一個9,循環數是7.化分數后是7/9

                          0.535353......

                          有兩個數循環,分母是兩個9,循環數是53.化分數后是53/99

                          我們可以在數軸上表示有理數.注意畫數軸的三要素(原點,正方向,單位長度).

                        有理數和無理數的定義和區別 急急

                        有理數指整數可以看作分母為1的分數。正整數、0、負整數、正分數、負分數都可以寫成分數的形式,這樣的數稱為有理數

                        無理數,即非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之后的數字有無限多個,并且不會循環。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中后兩者同時為超越數)等。

                        有理數與實數的區別

                        有理數與實數的區別:

                        1、性質不同

                        有理數:有理數為整數(正整數、0、負整數)和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

                        實數:實數是有理數和無理數的總稱。數學上,實數定義為與數軸上的實數,點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數,實數和數軸上的點一一對應。

                        2、所屬不同

                        有理數:有理數屬于實數,有理數包括正整數、0、負整數,又包括正整數和正分數,負整數和負分數。

                        實數:實屬包括有理數,實數可以分為有理數和無理數兩類,或代數數和超越數兩類。

                        有理數加法運算:

                        1、同號兩數相加,取與加數相同的符號,并把絕對值相加。

                        2、異號兩數相加,若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0;若絕對值不相等,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

                        3、互為相反數的兩數相加得0。

                        4、一個數同0相加仍得這個數。

                        5、互為相反數的兩個數,可以先相加。

                        6、符號相同的數可以先相加。

                        7、分母相同的數可以先相加。

                        8、幾個數相加能得整數的可以先相加。

                        實數,有理數,無理數,自然數,這些到底有什么區別

                        實數包括有理數和無理數

                        自然數包括0和正整數

                        無理數指無限不循環小數,例如圓周率,根號3

                        有理數包括整數和分數

                        常見的無理數有哪三種形式

                        常見的無理數有以下四種形式:

                        1、無窮不循環小數:3.14159265........

                        2、根式:(√5-1)/2

                        3、函數式:lg2,sin1°

                        4、專用符號:e,π,γ

                        有理數運算定律

                        1、加法運算律:

                        (1)、加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,和不變,即

                        (2)、加法結合律:三個數相加,先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加,和不變,即

                        2、減法運算律:

                        (1)減法運算律:減去一個數,等于加上這個數的相反數。即: 

                        3、乘法運算律:

                        (1)、乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置,積不變,即

                        (2)、乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數先乘,或者先把后兩個相乘,積不變,即

                        4、乘法分配律:

                        (1)、某個數與兩個數的和相乘等于把這個數分別與這兩個數相乘,再把積相加,即

                         

                         

                        0是有理數還是無理數?

                        0是有理數

                        怎么判斷帶根號的數是有理數還是無理數?

                        要看根號下的那個數是不是完全平方數,即它能寫成另一個數的平方。如果是一個完全平方數,開根號后就是有理數;反之,是無理數。

                        數學上,有理數是一個整數a和一個正整數b的比,例如3/8,通則為a/b。0也是有理數。有理數是整數和分數的集合,整數也可看做是分母為一的分數。有理數的小數部分是有限或為無限循環的數。不是有理數的實數稱為無理數,即無理數的小數部分是無限不循環的數。

                        舉例:

                        若a^n=b,那么a是b開n次方的n次方根或a是b的1/n次方。開n次方手寫體和印刷體用√ ̄表示,被開方的數或代數式寫在符號左方v形部分的右邊和符號上方一橫部分的下方共同包圍的區域中,而且不能出界。

                        有理數集與整數集的一個重要區別是,有理數集是稠密的,而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定后,任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數,這就是稠密性。整數集沒有這一特性,兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

                        有理數是實數的緊密子集:每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是,僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列,有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的(稠密)子集,因此它同時具有一個子空間拓撲。

                        無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說,無理數就是10進制下的無限不循環小數,如圓周率、等。

                        而有理數由所有分數,整數組成,總能寫成整數、有限小數或無限循環小數,并且總能寫成兩整數之比,如21/7等。

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